Ökonometrie II Hausaufgabe 8 Frühjahr 2025: Random Walk, AR(1)-Modelle und MATLAB-Simulationen – Eine Schritt-für-Schritt-Anleitung

Einführung: Ökonometrie II Hausaufgabe 8 im Frühjahr 2025 – Theorie und Praxis

Die achte Hausaufgabe im Kurs Ökonometrie II (Frühjahr 2025) kombiniert klassische Zeitreihenmodelle mit praktischen MATLAB-Übungen. Du analysierst einen Random-Walk-Prozess, einen AR(1)-Lohnprozess und führst Simulationen durch. Diese Anleitung erklärt die Konzepte ohne die Lösung komplett vorwegzunehmen, gibt dir aber das nötige Rüstzeug, um die Aufgaben selbstständig zu lösen. Ob du dich gerade auf die Klausur vorbereitest oder die Hausaufgabe fristgerecht abgeben musst – hier bekommst du klare Erklärungen.

Aufgabe 1: Random-Walk-Modell für Log-Löhne – Varianz und Autokovarianzen von ∆wt

Stell dir vor, der logarithmierte Lohn eines Individuums folgt einem Random Walk: yt = yt−1 + ut, wobei ut weißes Rauschen mit Varianz σu² ist. Der beobachtete Lohn wt setzt sich aus yt und einem weiteren weißen Rauschen et mit Varianz σe² zusammen: wt = yt + et. Da wt nicht stationär ist, betrachtest du die ersten Differenzen ∆wt = wt – wt−1. Deine Aufgabe: Berechne die Varianz sowie die Autokovarianzen erster und zweiter Ordnung von ∆wt.

Schritt-für-Schritt-Ansatz:

1. Differenzenbildung: ∆wt = (yt + et) – (yt−1 + et−1) = (yt – yt−1) + (et – et−1) = ut + et – et−1.
2. Varianz: Da alle Terme unkorreliert sind (ut, et, et−1 sind weißes Rauschen und unabhängig voneinander), gilt Var(∆wt) = Var(ut) + Var(et) + Var(et−1) = σu² + 2σe².
3. Autokovarianz erster Ordnung (Lag 1): Cov(∆wt, ∆wt−1) = Cov(ut + et – et−1, ut−1 + et−1 – et−2). Aufgrund der Unabhängigkeit bleiben nur Kovarianzen zwischen et und et−1 sowie zwischen –et−1 und et−1 übrig: Cov(et, et−1)=0, Cov(–et−1, et−1) = –Var(et−1) = –σe². Also γ1 = –σe².
4. Autokovarianz zweiter Ordnung (Lag 2): Cov(∆wt, ∆wt−2) = Cov(ut + et – et−1, ut−2 + et−2 – et−3) = 0, da keine überlappenden Terme existieren. Also γ2 = 0.

Interpretation: Der MA(1)-Charakter in den Differenzen (der Term –et−1) erzeugt eine negative Autokorrelation bei Lag 1, während höhere Lags unkorreliert sind. Dieses Muster findest du oft in Wachstumsraten von Wirtschaftsindikatoren, die einen „overshooting“-Effekt zeigen – ähnlich wie kurzfristige Kursschwankungen bei Kryptowährungen, die sich schnell umkehren.

Aufgabe 2: AR(1)-Lohnprozess – Erwartete Löhne und diskontierter Barwert

Der Lohn yt folgt einem stationären AR(1)-Prozess: yt = µ + β yt−1 + et mit |β| < 1. Gegeben ist y0 = 100 $. Du sollst die erwarteten Löhne für jedes t > 0 und den diskontierten Erwartungswert aller zukünftigen Einkommen berechnen (Diskontsatz δ = 0,9 %).

Teil a) Erwartungswert E[yt | y0]:

Durch rekursives Einsetzen erhältst du: yt = µ(1 + β + β² + … + β^{t−1}) + β^t y0 + (Terme mit et). Der bedingte Erwartungswert ist: E[yt | y0] = µ (1 – β^t)/(1 – β) + β^t y0. Setze die Werte ein, sobald µ und β bekannt sind (in der Aufgabenstellung nicht gegeben, aber du kannst die Formel allgemein halten).

Teil b) Diskontierter Barwert:

Der Barwert der erwarteten zukünftigen Einkommen ist: Σ_{t=0}^∞ δ^t E[yt | y0]. Dabei ist δ = 0,009 (0,9 %). Nutze die geometrische Reihe: Σ_{t=0}^∞ δ^t β^t = 1/(1 – δβ). Für den µ-Term ergibt sich: Σ_{t=0}^∞ δ^t µ (1 – β^t)/(1 – β). Trenne die Summe: µ/(1 – β) [ Σ δ^t – Σ (δβ)^t ] = µ/(1 – β) [1/(1 – δ) – 1/(1 – δβ)]. Der gesamte Barwert ist also: y0/(1 – δβ) + µ/(1 – β) [1/(1 – δ) – 1/(1 – δβ)]. Achte darauf, dass der Barwert vom Startwert y0 abhängt – ein typisches Phänomen bei persistenten Einkommensprozessen, das auch bei der Bewertung von Humankapital oder Aktien eine Rolle spielt.

Aufgabe 3: MATLAB-Regression – Ist US-Einkommenswachstum weißes Rauschen?

Du hast reale Pro-Kopf-Einkommensdaten der USA (vermutlich aus früheren Hausaufgaben). Führe eine AR(1)-Regression des Einkommenswachstums auf seine eigene Verzögerung und eine Konstante durch. Teste mit einem t-Test, ob der Koeffizient des verzögerten Wachstums signifikant von Null verschieden ist. Ist er es nicht, kannst du die Nullhypothese, dass das Wachstum weißes Rauschen ist, nicht ablehnen.

MATLAB-Code-Skizze:

% Angenommen, die Variable growth enthält die Wachstumsraten
% Erstelle verzögerte Werte
growth_lag1 = [NaN; growth(1:end-1)];
% Entferne fehlende Werte für die Regression
data = [growth(2:end), growth_lag1(2:end)];
X = [ones(size(data,1),1), data(:,2)];
y = data(:,1);
% OLS-Schätzung
beta_hat = (X'*X)\X'*y;
residuals = y - X*beta_hat;
% Standardfehler
n = length(y);
k = size(X,2);
s2 = (residuals'*residuals)/(n-k);
var_beta = s2 * inv(X'*X);
se = sqrt(diag(var_beta));
t_stat = beta_hat(2)/se(2);
% Kritischer Wert für 5%-Niveau
t_crit = tinv(0.975, n-k);
disp(['t-Statistik: ', num2str(t_stat)])
if abs(t_stat) > t_crit
    disp('AR(1)-Koeffizient signifikant - kein weißes Rauschen')
else
    disp('AR(1)-Koeffizient nicht signifikant - weißes Rauschen nicht abgelehnt')
end

Schätze dann ein AR(2)-Modell und teste mit einem F-Test oder Likelihood-Ratio-Test, ob der zusätzliche Koeffizient signifikant ist. Ist er es nicht, kannst du das AR(1) nicht ablehnen.

Aufgabe 4: MATLAB-Simulation – Bias von OLS bei AR(1)-Modellen

Simuliere 1000 AR(1)-Prozesse mit T = 40 Beobachtungen und verschiedenen Koeffizienten a = 0,5, 0,9, 0,99. Schätze jeweils das AR(1)-Modell (mit oder ohne Konstante) und zeige, dass der geschätzte Koeffizient ˆa mit steigendem a einen zunehmenden Bias gegen Null aufweist (Hurwicz-Bias).

MATLAB-Code-Skizze:

T = 40;
R = 1000;
a_values = [0.5, 0.9, 0.99];
results = zeros(length(a_values), 2); % Speicher für Mittelwert und Bias

for idx = 1:length(a_values)
    a_true = a_values(idx);
    a_hats = zeros(R,1);
    for r = 1:R
        % Simuliere AR(1) ohne Konstante
        y = zeros(T,1);
        y(1) = randn * sqrt(1/(1-a_true^2)); % stationäre Verteilung
        for t = 2:T
            y(t) = a_true * y(t-1) + randn;
        end
        % Schätze AR(1) ohne Konstante (einfachster Fall)
        y_lag = y(1:end-1);
        y_current = y(2:end);
        a_hat = (y_lag'*y_lag) \ (y_lag'*y_current);
        a_hats(r) = a_hat;
    end
    mean_hat = mean(a_hats);
    bias = mean_hat - a_true;
    results(idx,:) = [mean_hat, bias];
end

disp('Wahrer a | Mittlerer Schätzer | Bias')
disp([a_values', results])

Du wirst sehen: Je näher a an 1 liegt, desto stärker unterschätzt OLS den wahren Parameter – ein bekanntes Phänomen bei autoregressiven Prozessen mit kleinem Stichprobenumfang. Dieser Bias ist besonders relevant in der Makroökonomie, wenn du persistente Variablen wie BIP oder Inflation analysierst.

Fazit und Prüfungsvorbereitung

Diese Hausaufgabe deckt zentrale Konzepte der Zeitreihenökonometrie ab: Random Walk, AR(1)-Modelle, bedingte Erwartungen, Diskontierung und Small-Sample-Bias. Wenn du die Herleitungen und MATLAB-Übungen durcharbeitest, bist du bestens auf die Klausur vorbereitet. Denk daran: Die Musterlösung zeigt oft den elegantesten Weg, aber das Verständnis der Schritte ist entscheidend.

Um dein Wissen zu vertiefen, empfehle ich, die Simulationen zu variieren (z.B. T=100) oder einen Konstante ins Modell aufzunehmen. Auch der Vergleich mit Bootstrap-Methoden oder korrigierten Schätzern (wie Andrews-Chen) kann spannend sein – aber das sprengt den Rahmen dieser Hausaufgabe.

Viel Erfolg bei der Abgabe und der Klausur!