Ökonometrie II Hausaufgabe 3: Frisch-Waugh, bivariate Normalverteilung, MATLAB

Einführung in die Hausaufgabe 3: Frisch-Waugh, bivariate Normalverteilung und MATLAB-Übungen

Die dritte Hausaufgabe in Ökonometrie II (Frühjahr 2025) kombiniert theoretische und praktische Aspekte der Regressionsanalyse. Sie umfasst das Frisch-Waugh-Theorem, die Herleitung der bedingten Dichte der bivariaten Normalverteilung und mehrere MATLAB-Übungen. In diesem Leitfaden erklären wir die wichtigsten Konzepte und geben Tipps zur Lösung, ohne die Aufgaben direkt vorzurechnen. Dabei greifen wir auf aktuelle Trends wie Künstliche Intelligenz und Datenanalyse zurück, um die Relevanz der Methoden zu verdeutlichen.

1. Frisch-Waugh-Theorem: Die Macht der Partialisierung

Das Frisch-Waugh-Theorem ist ein zentrales Werkzeug der Ökonometrie. Es besagt, dass die Koeffizienten einer multiplen Regression auch durch eine zweistufige Prozedur geschätzt werden können: Zuerst werden die Regressoren gegenseitig partialisiert, dann wird die abhängige Variable auf die Residuen regressiert. In der Hausaufgabe wird eine Regression mit zwei Regressoren betrachtet, wobei die gefitteten Werte durch Ŷ = X₁ + 4X₂ gegeben sind. Die Aufgabe fragt nach den geschätzten γ₁ und γ₂ in der Regression Y = γ₁X₁ + γ₂M₁X₂ + Fehler, wobei M₁ der Residuenmacher aus der Regression auf X₁ ist. Gegeben ist, dass P₁X₂ = 1,5X₁. Dieses Szenario erinnert an die Optimierung von Algorithmen in der KI: Oft werden Features nacheinander bereinigt, um ihre isolierte Wirkung zu messen. In der Praxis (z.B. bei der Analyse von Aktienrenditen) hilft das Frisch-Waugh-Theorem, den Einfluss einzelner Faktoren zu isolieren. Denken Sie daran: γ₁ ist der Koeffizient von X₁ in der multiplen Regression, während γ₂ der Koeffizient von X₂ ist, nachdem der lineare Einfluss von X₁ entfernt wurde. Mit P₁X₂ = 1,5X₁ können Sie die Projektion berechnen und die Schätzer bestimmen.

2. Bivariate Normalverteilung: Bedingte Dichte herleiten

Die bivariate Normalverteilung ist das Fundament vieler ökonometrischer Verfahren. Die Aufgabe verlangt die Herleitung der bedingten Dichte f(X₂|X₁). Dies ist ein klassisches Resultat: Für (X₁, X₂) ~ N(μ, Σ) ist die bedingte Verteilung von X₂ gegeben X₁ wieder normal mit Erwartungswert μ₂ + (σ₁₂/σ₁₁)(X₁ - μ₁) und Varianz σ₂₂ - σ₁₂²/σ₁₁. Diese Formel wird in der Vorhersage verwendet, z.B. bei der Schätzung von Kreditausfallwahrscheinlichkeiten (Fintech-Trend). In der Hausaufgabe müssen Sie die Dichte formal ableiten – nutzen Sie die Definition der bedingten Dichte als Quotient von gemeinsamer und marginaler Dichte. Ein Tipp: Arbeiten Sie mit der quadratischen Form im Exponenten und ergänzen Sie sie zur Summe von zwei Quadraten.

3. Saisonale Dummy-Variablen und OLS-Schätzung

Ein weiterer Teil der Hausaufgabe beschäftigt sich mit saisonalen Dummy-Variablen. Gegeben sind Quartalsdummies D₁, D₂, D₃ (mit D₁ für Q2, D₂ für Q3, D₃ für Q4) und die durchschnittlichen y-Werte: ȳ₂=4, ȳ₃=2, ȳ₄=0, sowie ȳ=5 und x̄=0. Zudem ist x orthogonal zu den Dummies. Die Aufgabe: Finden Sie die OLS-Schätzer β̂₀, β̂₁, β̂₂, β̂₃. Dies ist ein typisches Problem in der Zeitreihenanalyse, z.B. bei der Bereinigung von Saisoneffekten in Wirtschaftsdaten (wie BIP-Wachstum). Nutzen Sie die Tatsache, dass die Dummies die Mittelwerte der Quartale abbilden. Der Schätzer β̂₀ entspricht dem Mittelwert der Basisperiode (hier Q1), und die β̂ für die Dummies geben die Differenz zum Basisquartal an. Da x orthogonal zu den Dummies ist, kann der Koeffizient von x separat geschätzt werden – ähnlich wie beim Frisch-Waugh-Theorem.

4. MATLAB-Übungen: Praktische Umsetzung

Die Computerfragen bauen auf den vorherigen Hausaufgaben auf. Sie sollen mit MATLAB reale US-Daten zu Konsumwachstum, Einkommenswachstum und Zinssätzen analysieren. Konkret:

a) Residuenmacher M und Eigenwerte/-vektoren: Berechnen Sie M = I - X(X'X)^{-1}X' und lassen Sie sich die Eigenwerte und Eigenvektoren ausgeben. Dies ist nützlich, um die Geometrie der Regression zu verstehen – ähnlich wie bei der Hauptkomponentenanalyse (PCA), die in der KI-Dimensionreduktion eingesetzt wird.
b) C- und Λ-Matrizen: Erzeugen Sie die Matrix C (Eigenvektoren) und die Diagonalmatrix Λ (Eigenwerte) und verifizieren Sie CΛC' = M. Dies ist eine spektrale Zerlegung, die in vielen Bereichen der Statistik und des maschinellen Lernens vorkommt.

Der zweite Computertest beschäftigt sich mit der Generierung normalverteilter Zufallsvariablen und der Konstruktion einer Quadratwurzel der Kovarianzmatrix. Dies ist ein Beispiel für die Dekorrelation von Daten, die in der Finanzmodellierung (z.B. bei der Portfolio-Optimierung) und in der Signalverarbeitung verwendet wird.

a) Vektoren e₁, e₂: Generieren Sie zwei unabhängige standardnormalverteilte Vektoren der Länge N=100.
b) X₁ = e₁, X₂ = e₁ + e₂: Berechnen Sie die Kovarianzmatrix Σ von X = (X₁, X₂). Da e₁ und e₂ unabhängig sind, ergibt sich Σ = [[1, 1], [1, 2]].
c) Quadratwurzel Σ^{1/2}: In MATLAB können Sie die Cholesky-Zerlegung oder die Eigenwertzerlegung nutzen. Die Quadratwurzel ist nicht eindeutig; verwenden Sie z.B. die symmetrische Quadratwurzel via Eigenwerte.
d) Y = Σ^{-1/2} X: Transformieren Sie X, um dekorrelierte Variablen zu erhalten. Dies ist ein zentraler Schritt in der Whitening-Transformation, die in der KI (z.B. bei der Vorverarbeitung von Bilddaten) üblich ist.
e) Kovarianz von Y₁ und Y₂: Berechnen Sie die empirische Kovarianz; sie sollte nahe Null sein. Dies zeigt, dass die Transformation die Korrelation entfernt hat – ein grundlegendes Konzept in der multivariaten Statistik.

5. Trends und Praxisbezug

Die behandelten Methoden sind nicht nur akademisch, sondern werden in vielen aktuellen Anwendungen genutzt: Im Finanzwesen (Risikomanagement), in der KI (Feature-Engineering), in der Epidemiologie (Modellierung von Ausbreitungsdynamiken) oder in der Klimaforschung (Detektion von Trends). Indem Sie diese Übungen durcharbeiten, bereiten Sie sich auf reale Datenanalysen vor – ein Skill, der auf dem Arbeitsmarkt sehr gefragt ist.

Fazit

Die Hausaufgabe 3 in Ökonometrie II fordert ein tiefes Verständnis der linearen Algebra, der Wahrscheinlichkeitstheorie und der praktischen Umsetzung in MATLAB. Nutzen Sie diesen Leitfaden, um die Konzepte zu durchdringen, aber lösen Sie die Aufgaben eigenständig. Bei Fragen stehen Ihnen Tutorien und Foren zur Verfügung. Viel Erfolg!