Frisch-Waugh-Theorem und Messfehler in der Ökonometrie: Ein praktischer Leitfaden mit MATLAB

Einführung in das Frisch-Waugh-Theorem

Das Frisch-Waugh-Theorem ist ein zentrales Konzept in der Ökonometrie, das dir hilft, multiple Regressionen in einfachere Schritte zu zerlegen. Stell dir vor, du analysierst, wie sich das Wirtschaftswachstum (Y) auf den Konsum auswirkt – ähnlich wie ein Finanzanalyst die Auswirkungen von Zinsänderungen auf Aktienkurse untersucht. In dieser Lektion lernst du, wie du mit zwei Regressoren (x1 und x2) die Koeffizienten isolieren kannst.

Der mathematische Hintergrund

Angenommen, du hast das Modell: Y = β1X1 + β2X2 + ε. Die Matrix X'X ist 2x2 mit den inneren Produkten X1'X1, X1'X2, X2'X1 und X2'X2. Ohne Beschränkung der Allgemeinheit kannst du annehmen, dass X1'X1 = 1 und X2'X2 = 1 (durch Skalierung der Einheiten). Dann ist die Inverse von X'X einfach:

(X'X)^{-1} = 1/(1 - ρ²) * [1, -ρ; -ρ, 1]

wobei ρ = X1'X2. Die Koeffizienten sind dann:

β1 = (X1'Y - ρ X2'Y) / (1 - ρ²)
β2 = (X2'Y - ρ X1'Y) / (1 - ρ²)

Schrittweise Regression nach Frisch-Waugh

Das Theorem besagt, dass du β2 auch in zwei Schritten erhalten kannst:

1. Regrediere X2 auf X1: X2 = X1 * ξ + Fehler – erhalte den gefitteten Wert P1X2 = X1 * ξ̂ und das Residuum M1X2 = X2 - P1X2.
2. Regrediere Y auf M1X2: Y = (M1X2) * β2 + Fehler. Der geschätzte Koeffizient β̂2 aus dieser Regression ist identisch mit dem aus der multiplen Regression.

Warum ist das nützlich? Stell dir vor, du untersuchst den Einfluss von Bildungsausgaben (X1) und Technologieeinsatz (X2) auf das BIP-Wachstum. Mit Frisch-Waugh kannst du den reinen Effekt von Technologie bereinigen, indem du zuerst den linearen Einfluss von Bildung entfernst.

Praktische Anwendung mit MATLAB

Jetzt wird es konkret: Du arbeitest mit einem Datensatz zu US-amerikanischen Konsum-, Einkommens- und Zinsdaten. Deine Aufgabe ist es, die Frisch-Waugh-Prozedur nachzuvollziehen und den Effekt von Messfehlern zu untersuchen. Lade den Datensatz und führe folgende Schritte aus:

Schritt 1: Regression von Einkommenswachstum auf Zinssatz

% Angenommen, Y = Konsumwachstum, X1 = Einkommenswachstum, X2 = Zinssatz
MrY = residuen der Regression von X1 auf X2;

Schritt 2: Regression von Konsumwachstum auf MrY

beta_MrY = Koeffizient von MrY in der Regression Y ~ MrY;

Vergleiche diesen Koeffizienten mit dem β1 aus der multiplen Regression Y ~ X1 + X2. Sie sollten identisch sein.

Schritt 3: Residuale des Konsumwachstums

MrC = residuen der Regression von Y auf X2;

Schritt 4: Regression von MrC auf MrY

beta_MrC_MrY = Koeffizient von MrY in der Regression MrC ~ MrY;

Auch dieser Koeffizient sollte mit β1 übereinstimmen – eine Bestätigung des Theorems.

Auswirkungen von Messfehlern

Ein häufiges Problem in der Empirie sind Messfehler. Angenommen, das wahre Einkommenswachstum ist X1, aber du beobachtest X1* = X1 + u, wobei u ein iid-Fehler mit Mittelwert Null ist. Dann regredierst du Y auf X1* und X2. Was passiert?

1. Der Koeffizient von X1* wird gegen Null verzerrt („Atténuation“).
2. Der Koeffizient von X2 kann ebenfalls verzerrt werden, da X1* und X2 korreliert sein können.

In MATLAB erzeugst du einen Vektor u mit randn und addierst ihn zu X1. Führe die Regression durch und beobachte die Veränderung. Wiederhole dies mit einer größeren Varianz von u (z.B. Multiplikation mit 10). Der Koeffizient von X1* nähert sich noch weiter der Null, während der von X2 sich in Richtung des wahren Werts bewegen kann – ein Phänomen, das an die „Instrumentenvariable“-Schätzung erinnert.

Fazit

Das Frisch-Waugh-Theorem ist ein mächtiges Werkzeug, um komplexe Regressionen zu vereinfachen und die Rolle einzelner Variablen zu verstehen. Die Messfehlerproblematik zeigt, wie sensibel Schätzer auf Datenqualität reagieren – ein wichtiger Aspekt, besonders in Zeiten von Big Data und KI-gestützten Prognosen (z.B. in der Finanzanalyse oder bei der Bewertung von Wirtschaftspolitik). Mit den MATLAB-Übungen hast du praktische Erfahrung gesammelt, die dir in deiner weiteren Karriere als Ökonometriker oder Datenwissenschaftler zugutekommen wird.