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Einführung in die Autokovarianz und Lag-Polynome in der Ökonometrie – Übungen für das Frühjahrssemester 2025

Lerne Schritt für Schritt, wie du Autokovarianzen, AR(1)-Prozesse und Lag-Polynome berechnest – mit Beispielen aus der Praxis und aktuellen Bezügen zum Frühjahr 2025.

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Autokovarianz und AR(1)-Prozesse verstehen

In der Ökonometrie ist das Verständnis von Autokovarianzen und autoregressiven Prozessen essenziell für die Analyse von Zeitreihendaten. Stell dir vor, du analysierst die täglichen Renditen einer populären Kryptowährung wie Bitcoin im Frühjahr 2025 – die Abhängigkeit von heutigen Werten zu gestrigen ist ein klassisches AR(1)-Modell. In dieser Lektion lernst du, wie du Autokovarianzen für einen Moving-Average-Prozess und einen AR(1)-Prozess berechnest.

Teil 1a: Autokovarianzen für einen MA(1)-Prozess

Gegeben sei xt = α0 + 5ut + ut-1, wobei ut weißes Rauschen mit Varianz σu2 ist. Die Autokovarianzfunktion γ(k) = Cov(xt, xt-k) für k = 0,1,2,… lässt sich wie folgt berechnen:

  • γ(0) = Var(xt) = Var(5ut + ut-1) = 25σu2 + σu2 = 26σu2 (da keine Kovarianz zwischen ut und ut-1).
  • γ(1) = Cov(5ut + ut-1, 5ut-1 + ut-2) = 5σu2 (Kreuzterm 5ut mit ut-1 ergibt 5σu2, alle anderen Terme verschwinden).
  • γ(k) = 0 für k ≥ 2.

Dieses Muster ist typisch für einen gleitenden Durchschnitt der Ordnung 1 (MA(1)).

Teil 1b: AR(1)-Prozess – Varianz und Autokovarianzen

Betrachten wir den stationären AR(1)-Prozess xt = 3 + 0,5xt-1 + ut mit E[ut2] = 3. Die Varianz von xt ist:

γ(0) = σu2 / (1 - φ2) = 3 / (1 - 0,25) = 4

Die Autokovarianzen ergeben sich als:

  • γ(1) = φ γ(0) = 0,5 * 4 = 2
  • γ(2) = φ γ(1) = 0,5 * 2 = 1
  • γ(3) = φ γ(2) = 0,5 * 1 = 0,5

Die Autokorrelationen sind ρ(k) = γ(k)/γ(0), also ρ(1)=0,5, ρ(2)=0,25, ρ(3)=0,125. Dieses exponentielle Abklingen ist charakteristisch für AR(1)-Prozesse.

Lag-Polynome und ihre Anwendung

Lag-Polynome sind ein mächtiges Werkzeug in der Zeitreihenanalyse. Sie ermöglichen es, komplexe Abhängigkeiten kompakt darzustellen. Stell dir vor, du modellierst den Einfluss von Social-Media-Trends auf Aktienkurse im Frühjahr 2025 – hier helfen Lag-Polynome, vergangene Werte zu gewichten.

Definition und Berechnung

Ein Lag-Polynom a(L) = a0 + a1L mit dem Lag-Operator L (Lxt = xt-1) wird auf eine Zeitreihe angewendet: a(L)xt = a0xt + a1xt-1. Gegeben a0=1, a1=-2 und xt=3, xt-1=-3, xt-2=-2, xt-3=9, xt-4=9, berechnen wir:

  • a(L)xt = 1*3 + (-2)*(-3) = 3 + 6 = 9
  • b(L)xt mit b0=3, b1=-0,3, b2=0,5: = 3*3 + (-0,3)*(-3) + 0,5*(-2) = 9 + 0,9 - 1 = 8,9

Wurzeln von Lag-Polynomen

Die Wurzeln von a(L) findet man durch Lösen von a(z)=0 mit z als komplexer Variable. Für a(L)=1-2L ergibt sich z = 0,5. Für b(L)=3 - 0,3L + 0,5L2 lösen wir 3 - 0,3z + 0,5z2=0 → die Wurzeln sind komplex: z = (0,3 ± i√(5,91))/1. Die Wurzeln von c(L)=a(L)b(L) sind die Vereinigungsmenge der Wurzeln von a und b.

Inverses Lag-Polynom

Das inverse Polynom b-1(L) erfüllt b(L)b-1(L)=1. Für b(L)=3 - 0,3L + 0,5L2 können wir die Koeffizienten durch Koeffizientenvergleich bestimmen. Angenommen b-1(L) = c0 + c1L + c2L2 + …, dann ergibt sich:

3c0 = 1 → c0 = 1/3
3c1 - 0,3c0 = 0 → c1 = 0,1/3 = 1/30
3c2 - 0,3c1 + 0,5c0 = 0 → c2 = (0,3*(1/30) - 0,5*(1/3))/3 = (0,01 - 0,1667)/3 = -0,1567/3 ≈ -0,0522

Diese Koeffizienten sind wichtig für die Prognose und Filterung von Zeitreihen.

Praktische Übung mit MATLAB

In der Computeraufgabe (Aufgabe 4) geht es darum, mit MATLAB Konsumwachstum auf Einkommenswachstum und Zinssatz zu regressieren und die Residuen auf Autokorrelation zu testen. Ein ähnliches Szenario findest du vielleicht in der Analyse der US-Konjunktur im Frühjahr 2025. Die Schritte sind:

  1. Lade den Datensatz und führe die Regression durch.
  2. Extrahiere die Residuen et.
  3. Führe eine Hilfsregression et = ρ et-1 + vt durch und prüfe den t-Test auf ρ.

Ein signifikanter Koeffizient deutet auf Autokorrelation hin, was die OLS-Standardfehler ungültig machen würde. In der Praxis könnte man dann auf robuste Standardfehler oder GLS ausweichen.

Zusammenfassung

In dieser Lektion hast du gelernt, Autokovarianzen für MA(1)- und AR(1)-Prozesse zu berechnen, Lag-Polynome anzuwenden und deren Wurzeln zu bestimmen. Diese Konzepte sind fundamental für die Analyse von Zeitreihen, sei es in der Finanzökonomie, Makroökonomie oder bei der Modellierung von Social-Media-Trends. Übe die Berechnungen mit eigenen Zahlen, um ein tieferes Verständnis zu entwickeln.