Eigenfrequenzen und modale Analyse: Ein MATLAB-Tutorial für ME 370 – Schwingungen eines 3-stöckigen Rahmens

Einführung in die modale Analyse von Schwingungssystemen

Die modale Analyse ist ein zentrales Werkzeug in der Maschinenbau-Dynamik, insbesondere wenn es um die Untersuchung von Mehrfreiheitsgradsystemen (MDOF) geht. In diesem Tutorial lernst du, wie du mit MATLAB die Eigenfrequenzen und modalen Antworten eines 3-stöckigen Rahmens (Shear Building) berechnest – genau wie in der Aufgabenstellung ME 370 Fall 2025. Solche Systeme sind nicht nur in der Gebäudedynamik relevant, sondern auch in der modernen Robotik, wo leichte, aber steife Strukturen gezielt ausgelegt werden müssen.

Systemmodell und Bewegungsgleichungen

Ein 3-stöckiger Rahmen kann als diskretes Feder-Masse-System mit drei Freiheitsgraden modelliert werden. Die Massen der Stockwerke sind konzentriert, die Steifigkeiten der Wände werden durch Federn repräsentiert. Die Bewegungsgleichungen (EOM) lauten in Matrixform:

M * x'' + K * x = F

wobei M die Massenmatrix und K die Steifigkeitsmatrix ist. Für gleiche Massen (m1=m2=m3=5000 kg) und gleiche Steifigkeiten (k1=k2=k3=2000 N/m) ergibt sich:

M = 5000 * eye(3)
K = [4000, -2000, 0; -2000, 4000, -2000; 0, -2000, 2000]

Diese Matrizen sind die Grundlage für die modale Analyse.

Berechnung der Eigenfrequenzen und Moden mit MATLAB

Die Eigenfrequenzen und Moden erhältst du durch Lösen des Eigenwertproblems det(K - ω²M) = 0. In MATLAB nutzt du dazu die Funktion eig:

M = 5000 * eye(3);
K = [4000, -2000, 0; -2000, 4000, -2000; 0, -2000, 2000];
[V, D] = eig(K, M);
omega = sqrt(diag(D));
frequenzen = omega / (2*pi);
disp('Eigenfrequenzen in Hz:');
disp(sort(frequenzen));

Die Eigenvektoren in V stellen die modalen Formen dar. Sortiere sie nach steigender Frequenz.

Modale Analyse für harmonische Anregung

Bei einer harmonischen Kraft F(t) = 300 cos(20t) N auf das erste Stockwerk berechnest du die stationäre Antwort durch Transformation in den modalen Raum. Die modalen Massen und Steifigkeiten sind:

Mr = V' * M * V;   % modale Massenmatrix
Kr = V' * K * V;   % modale Steifigkeitsmatrix
% für jede Mode i:
omega_i = sqrt(Kr(i,i)/Mr(i,i));
zeta = 0; % ungedämpft
% modale Antwortamplitude:
eta_i = (V(:,i)' * F0) / (Kr(i,i) - omega^2 * Mr(i,i));
% physikalische Antwort:
x = V * eta;

Hier ist omega die Erregerfrequenz (20 rad/s). Die Amplitude der ersten Stockwerks-Antwort ist dann abs(x(1)).

Antwort auf einen Impuls (Dirac-Impuls)

Für F(t) = 300 δ(t) N (Einheitsimpuls) berechnest du die freie Schwingung aus den Anfangsbedingungen. Der Impuls überträgt einen Geschwindigkeitssprung: v(0+) = M^{-1} * F0 mit F0 = [300; 0; 0]. Die Antwort ist eine Superposition der modalen Schwingungen:

% Anfangsgeschwindigkeit im modalen Raum:
eta0_dot = V' * M * v0;
% Zeitvektor definieren
t = 0:0.01:10;
for i = 1:3
    eta_i = eta0_dot(i)/omega_i * sin(omega_i * t);
    x = x + V(:,i) * eta_i;
end
plot(t, x(1,:));

Einfluss von Dämpfung (ξ = 0.02)

Mit einer kleinen modalen Dämpfung von 2% wird die Resonanzüberhöhung begrenzt. Die Bewegungsgleichung im modalen Raum wird zu:

eta_i'' + 2*xi*omega_i*eta_i' + omega_i^2*eta_i = f_i(t)/Mr_i

Für die harmonische Anregung verwendest du die komplexe Methode oder die partikuläre Lösung mit Dämpfung. MATLAB-Code:

xi = 0.02;
omega = 20;
for i = 1:3
    omega_i = sqrt(Kr(i,i)/Mr(i,i));
    eta_amp = (V(:,i)'*F0)/(Kr(i,i) - omega^2*Mr(i,i) + 1j*2*xi*omega_i*omega*Mr(i,i));
    eta = real(eta_amp * exp(1j*omega*t));
    x = x + V(:,i) * eta;
end

Die Dämpfung verhindert unendliche Amplituden bei Resonanz – ähnlich wie ein Stoßdämpfer im Fahrwerk eines E-Autos die Karosserie beruhigt.

Visualisierung der Moden

Die drei Moden des Systems sind besonders anschaulich: Die erste Mode schwingt alle Stockwerke in Phase, die zweite Mode hat einen Knoten in der Mitte, die dritte Mode zwei Knoten. Zeichne sie mit:

figure;
subplot(1,3,1);
bar([0, V(1,1), V(2,1), V(3,1)]);
title('Mode 1');
% analog für Mode 2 und 3

Diese Formen sind entscheidend für das Verständnis, wo ein Tuned Mass Damper (TMD) am besten platziert wird – ein aktuelles Thema im Bauingenieurwesen, etwa beim Taipei 101 Tower.

Anwendung: Tuned Mass Damper (Aufgabe 2)

In der zweiten Aufgabe der ME 370 soll ein Pendel-TMD (PTMD) auf dem dritten Stockwerk die Schwingungen reduzieren. Die Eigenfrequenz des Pendels ist ω_p = sqrt(g/L). Durch Abstimmung auf eine der Gebäudefrequenzen (z.B. die erste Mode) kann die Antwort gedämpft werden. Die erweiterte Bewegungsgleichung (4 DOF) wird mit dem Euler-Lagrange-Formalismus hergeleitet – eine elegante Methode, die du auch in der Robotik bei der Modellierung von Gelenkarmen findest.

Fazit

Dieses Tutorial hat dir gezeigt, wie du mit MATLAB eine modale Analyse eines 3-stöckigen Rahmens durchführst, sowohl für harmonische als auch für impulsartige Anregungen, mit und ohne Dämpfung. Die Methoden sind direkt auf die Aufgabenstellung ME 370 anwendbar. Denke daran, deinen Code sauber zu strukturieren, alle Gruppenmitglieder zu nennen und die Beiträge zu dokumentieren – sonst gibt es Punktabzug. Viel Erfolg bei deiner Abgabe!