Arbitrage in der Finanzmathematik: Mispricing erkennen und risikofreie Gewinne erzielen

Einführung in die Arbitrage

Arbitrage ist ein zentrales Konzept der Finanzmathematik und beschreibt die Möglichkeit, aus Preisdifferenzen desselben oder ähnlicher Finanzinstrumente auf verschiedenen Märkten einen risikofreien Gewinn zu erzielen. In der Praxis tritt Arbitrage auf, wenn ein Vermögenswert an einem Ort günstiger gekauft werden kann, als er an einem anderen Ort verkauft wird – und das ohne Risiko. Im Jahr 2026, wo Märkte durch KI-gesteuerte Handelsalgorithmen und globale Vernetzung immer effizienter werden, sind Arbitrage-Gelegenheiten zwar seltener, aber bei komplexen Derivaten oder Währungskreuzkursen immer noch vorhanden. Dieses Tutorial basiert auf dem Projekt MTH3025 und führt dich Schritt für Schritt durch die Identifikation von Fehlbewertungen und die Entwicklung einer Arbitrage-Strategie.

Finanzinstrumente verstehen

Was ist Arbitrage?

Stell dir vor, du kannst auf dem Markt A eine Aktie für 100 € kaufen und gleichzeitig auf dem Markt B für 101 € verkaufen. Der Differenzbetrag von 1 € ist dein risikofreier Gewinn – vorausgesetzt, du kannst beide Transaktionen gleichzeitig ausführen. In der Finanzmathematik wird Arbitrage als eine Handelsstrategie definiert, die einen positiven Gewinn ohne Anfangsinvestition und ohne Risiko garantiert. In der Realität sind solche Gelegenheiten meist kurzlebig, da Händler sie schnell ausnutzen.

Devisenswap (Foreign-Exchange Swap)

Ein Devisenswap ist ein Finanzinstrument, bei dem zwei Parteien vereinbaren, einen bestimmten Betrag einer Währung zu einem festgelegten Kurs zu tauschen und zu einem späteren Zeitpunkt zurückzutauschen. Er besteht aus einer Spot-Transaktion (sofortiger Tausch) und einer Forward-Transaktion (Rücktausch in der Zukunft). Devisenswaps werden häufig genutzt, um Währungsrisiken abzusichern oder Liquidität in einer anderen Währung zu beschaffen.

Rainbow-Option

Eine Rainbow-Option ist eine exotische Option, deren Auszahlung von der Wertentwicklung mehrerer Basiswerte abhängt. Der Name leitet sich von den verschiedenen „Farben“ der Basiswerte ab. Typische Beispiele sind Basket-Optionen oder Optionen auf das Maximum oder Minimum mehrerer Aktien. Rainbow-Optionen sind komplex und werden oft von institutionellen Anlegern genutzt, um Portfoliorisiken zu managen.

Lookback-Option mit variablem Ausübungspreis

Eine Lookback-Option mit variablem Ausübungspreis gibt dem Inhaber das Recht, den Basiswert zum günstigsten Kurs während der Laufzeit zu kaufen (Call) oder zum besten Kurs zu verkaufen (Put). Der Ausübungspreis wird also erst am Ende festgelegt – er ist der minimale (bei Call) oder maximale (bei Put) Kurs während der Optionsdauer. Diese Option ist teurer als eine Standardoption, da sie dem Inhaber eine rückblickende optimale Auswahl ermöglicht.

Fehlbewertung identifizieren: Die vier Gelegenheiten

Im Projekt MTH3025 werden vier Handelsmöglichkeiten analysiert. Eine davon enthält eine signifikante Fehlbewertung, die eine Arbitrage ermöglicht. Wir berechnen die theoretisch fairen Preise und vergleichen sie mit den gegebenen Marktpreisen.

Opportunity 1: Währungshandel

Gegeben sind Wechselkurse für GBP, USD, EUR und CHF. Ein möglicher Arbitrage-Ansatz ist die Dreiecksarbitrage: Suche nach einer in sich geschlossenen Kette von Währungsumrechnungen, die zu einem Gewinn führt. Beispiel: Wenn 1 GBP = 1,2724 USD, 1 USD = 0,9031 EUR und 1 EUR = 0,8702 GBP, dann ergibt die Multiplikation: 1,2724 × 0,9031 × 0,8702 ≈ 1,0000? Tatsächlich liegt das Produkt nahe 1, aber Rundungsdifferenzen können ausgenutzt werden. In den gegebenen Daten könnte ein inkonsistenter Kreuzkurs existieren. Wir berechnen alle impliziten Kurse und vergleichen mit den notierten.

Opportunity 2: Futures auf Aktien mit Dividende

Der faire Future-Preis für eine Aktie mit Dividendenzahlung lautet: F = S × e^(r×T) - D × e^(r×(T-t_D)). Für Tesco: S=217,58 GBX, Dividende D=1,75 am 1. Mai 2021, r=0,67% p.a., Laufzeit bis 1. September 2021 (T=7 Monate ≈ 0,5833 Jahre). Berechne den fairen Preis und vergleiche mit dem gegebenen Future-Preis 216,68 GBX. Eine Abweichung deutet auf eine Fehlbewertung hin.

Opportunity 3: Futures auf Rohstoffe mit Lagerkosten

Der faire Future-Preis für Rohstoffe mit Lagerkosten: F = (S + U) × e^(r×T), wobei U die Lagerkosten in bar sind, die zu Beginn gezahlt werden. Für Gold: S=1093,22 GBP, U=8 GBP, r=0,67%, T=8 Monate ≈ 0,6667 Jahre. F = (1093,22+8)×e^(0,0067×0,6667) ≈ 1101,22 × 1,00448 ≈ 1106,12 GBP. Gegebener Future: 1114,17 GBP – eine Abweichung von über 8 GBP, signifikant.

Opportunity 4: Optionen-Portfolio

Überprüfe die Put-Call-Parität: C + K×e^(-rT) = P + S. Für AstraZeneca: S=5725, K=5800, C=352,64, P=411,47, T=5 Monate ≈ 0,4167 Jahre. Linke Seite: 352,64 + 5800×e^(-0,0067×0,4167) ≈ 352,64 + 5800×0,9972 ≈ 352,64 + 5783,76 = 6136,40. Rechte Seite: 411,47 + 5725 = 6136,47. Differenz minimal (0,07), also fair. Bei Unilever: S=4260, K=4300, C=260,23, P=288,25. Linke Seite: 260,23 + 4300×0,9972 ≈ 260,23 + 4287,96 = 4548,19. Rechte Seite: 288,25 + 4260 = 4548,25. Differenz 0,06. Keine signifikante Fehlbewertung.

Die größte Abweichung zeigt sich bei Opportunity 3 (Gold-Future). Der faire Preis liegt bei etwa 1106,12 GBP, der Marktpreis bei 1114,17 GBP – eine Differenz von 8,05 GBP. Dies ist signifikant und ermöglicht Arbitrage.

Arbitrage-Strategie entwickeln

Die identifizierte Fehlbewertung beim Gold-Future erlaubt eine Cash-and-Carry-Arbitrage: Da der Future überbewertet ist, verkaufen wir den Future (short) und kaufen gleichzeitig das physische Gold (long), finanziert durch einen Kredit zum risikofreien Zinssatz. Die Lagerkosten werden zu Beginn gezahlt. Am Ende der Laufzeit liefern wir das Gold gegen den Future-Preis und zahlen den Kredit zurück. Der Gewinn ist die Differenz zwischen dem erhaltenen Future-Preis und den Kosten (Kaufpreis + Lagerkosten + Zinsen).

Schritte der Strategie

1. Heute (1. Januar 2021): Leihe 1101,22 GBP (Goldpreis + Lagerkosten) zum Zinssatz von 0,67% p.a. für 8 Monate. Kaufe Gold für 1093,22 GBP und zahle Lagerkosten von 8 GBP. Verkaufe einen Future auf Gold mit Lieferung am 1. September 2021 zum Preis von 1114,17 GBP.
2. Am Fälligkeitstag (1. September 2021): Zahle den Kredit zurück: 1101,22 × e^(0,0067×0,6667) ≈ 1105,66 GBP. Liefere das Gold gegen den Future und erhalte 1114,17 GBP.
3. Gewinn: 1114,17 - 1105,66 = 8,51 GBP pro Unze. Bei einem Handelsvolumen von z.B. 100 Unzen ergibt sich ein risikofreier Gewinn von 851 GBP.

Warum diese Strategie?

Die Strategie nutzt die Überbewertung des Futures aus. Sie erfordert keine Anfangsinvestition (der Kredit finanziert den Goldkauf) und ist risikofrei, da alle Cashflows fixiert sind. Die Wahl fällt auf Gold, weil die Abweichung groß genug ist, um Transaktionskosten und Geld-Brief-Spannen zu decken.

Fazit

Arbitrage ist ein mächtiges Konzept, das in der Finanzmathematik zeigt, wie Märkte zu effizienten Preisen tendieren. In diesem Tutorial hast du gelernt, Fehlbewertungen in Devisen, Futures und Optionen zu identifizieren und eine konkrete Arbitrage-Strategie zu entwickeln. Mit den Daten aus dem Projekt MTH3025 konntest du sehen, dass selbst im Jahr 2026 (basierend auf historischen Daten) noch Möglichkeiten bestehen. Die Fähigkeit, solche Gelegenheiten zu erkennen, ist für jeden Finanzmathematiker und Händler wertvoll – ob an der Börse oder im Bereich KI-gestützter Handelsstrategien.